A un système de Coxeter (W,S), on peut associer son algèbre de Hecke H, qui est une déformation de l'algèbre de groupe. Cette algèbre est très importante en théorie des représentations, notamment pour les algèbres de Lie semisimples complexes (dans ce cas W est un groupe de Weyl fini), et pour les représentations modulaires (en caractéristique p > 0) des groupe algébriques réductifs (dans ce cas W est un groupe de Weyl affine). La base de Kazhdan-Lusztig, définie en 1979, joue un rôle crucial pour ces applications (et pour les représentations modulaires, la base p-canonique, considérée plus récemment). Pour bien comprendre les propriétés de cette base, il est extrêmement utile de considérer des catégorifications de l'algèbre de Hecke. Dans le cas où W est un groupe de Weyl, on a une catégorification géométrique naturelle, via des faisceaux pervers (ou à parité, dans le cas modualire) sur la variété de drapeaux. Soergel a remarqué qu'on peut obtenir une catégorification algébrique en considérant la cohomologie équivariante de ces objets géométriques, qui forment une sous-catégorie de la catégorie des bimodules sur une algèbre de polynômes, qu'on peut décrire de façon élémentaire ; de plus, cette description pour définir une catégorification pour n'importe quel système de Coxeter ! Ce sont les fameux bimodules de Soergel. D'autre part, Elias et Williamson ont donné une catégorification diagrammatique : dans les bons cas, c'est une présentation par générateurs et relations des bimodules et Soergel ; dans les cas plus problématiques (typiquement : caractéristique p, groupe de Weyl affine), c'est la bonne catégorie à considérer ! Dans le cours, qui sera basé sur le livre "Introduction to Soergel bimodules" de Elias-Makisumi-Thiel-Williamson, nous verrons les versions algébrique et diagrammatique de la catégorie de Hecke, et autant que possible la version géométrique.
- Enseignant: Juteau Daniel